339. Орлов А.И. Вероятностные модели конкретных видов объектов нечисловой природы. – Журнал «Заводская лаборатория». 1995. Т.61. No.5, с.43-51.

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ КОНКРЕТНЫХ ВИДОВ ОБЪЕКТОВ НЕЧИСЛОВОЙ ПРИРОДЫ

	1. Дихотомические данные
	Рассмотрим такую модель, как бернуллиевский вектор, т.е. конечную последовательность  независимых испытаний Бернулли , для которых  и, причем  могут быть различны.
	Бернуллиевские вектора использованы в работе [1] для описания равномерно распределенных случайных толерантностей. Толерантность на множестве из m элементов можно задать [2] симметричной матрицей |||| из 0 и 1, на главной диагонали которой стоят 1. Тогда случайная толерантность описывается распределением m(m-1)/2 дихотомических случайных величин , , а для равномерно распределенной (на множестве всех толерантностей) толерантности эти величины оказываются независивыми и принимают значения 0 и 1 с равными вероятностями 1/2. Записав элементы  задающей такую толерантность матрицы в строку, получим бернуллиевский вектор с k=m(m-1)/2 и , i=1,2,....,n.
	В работах [3,4] в связи с оцениванием по статистическим данным функции принадлежности нечеткой толерантности рассматривались случайные толерантности с такими независимыми , что   произвольны.
	Случайные множества с независимыми элементами использовались в работе [5] как общий язык для описания парных сравнений и случайных толерантностей.
	В публикациях [6] и [7] термин "люсиан" применялся как сокращение для выражения "случайные множества с независимыми элементами". В работе [8],являющейся продолжением [7] и содержащей описание расчетных методов, вытекающих из результатов [7], этот термин не употреблялся вообще,хотя указанный объект (т.е. бернуллиевский вектор) был основным предметом изучения. Это объясняется тем, что изложение в работе [8] шло на языке обработки результатов парных сравнений, которые для прикладника никак не связаны с множествами.
	В дальнейшем был выявлен ещё ряд областей, в которых может оказаться полезным разработанный математический аппарат решения некоторых задач, связанных с бернуллиевскими векторами. Перечислим эти области: анализ случайных толерантностей;случайные множества с независимыми элементами;обработка результатов независимых парных сравнений;статистические методы анализа точности и стабильности технологического процесса, вопросы статистического приемочного контроля; обработка социологичеслих анкет (с закрытыми вопросами типа "да"-"нет"); обработка медицинских данных, в частности, ответов на психологические тесты типа MMPI, топографических карт и т.д.
	Теорию бернуллиевских векторов можно выразить в терминах любой из этих теоретических и прикладных областей. Однако терминология одной из этих областей "режет слух" и приводит к недорозумениям в другой из них. Поэтому мы считаем целесообразным использовать термин "бернуллиевский вектор" в указанном выше значении, не связанном ни с какой из перечисленных областей приложения этой теории ( в ряде публикаций в том же значении использовался термин "люсиан").
	Распределение бернуллиевского вектора Х полностью описывается вектором  ,т.е.нечетким подмножеством множества {1,2,...,k}. Действительно, для любого детерминированного вектора  из 0 и 1 имеем
            ,
где h(x,p)=p при х=1 и h(х,р)=1-р при х=0.
	Бернуллиевскими векторами можно моделировать [2,8]: результаты статистического контроля (0-годное  изделие, 1-дефектное);результаты маркетинговых и социологических опросов (0-опрашиваемый выбрал первую из двух подсказок, 1-вторую); распределение посторонних включений в материале (0-нет включения в определенном объеме материала, 1-есть); результаты испытаний ианализов (0-нет нарушений требований нормативно-технической документации,1-есть такие нарушения); процессы распространения,например, пожаров (0-нет загорания,1-есть[2,с.215-223]); технологические процессы (0-процесс находится в границах допуска,1-вышел из них); ответы экспертов (опрашиваемых) о сходстве объектов (проектов, образцов) и т.д.
	
	Парные сравнения.
	Общую модель парных сравнений изложим по Г.Дэвиду [9, с.9]."Предположим всюду, что t объектов  сравниваются попарно каждый из n экспертов с номером  делает  повторных сравнений для каждой из (t/2) возможностей. Пусть , i,j=1,2,...,t ij; =1,2,...,n; =1,2,..., -случайная величина, принимающая значение 1 или 0 в зависимости от того, предпочитает ли эксперт  объект  или объект  в -м сравнении двух объектов. Мы постулируем всюду, что все сравнения статистически независимы, так что  взаимно независимы, если не считать того, что . Пусть
.
	Ясно, что описанная модель представляет собой частный случай бернуллиевского вектора. В описанной модели число наблюдений равно числу неизвестных параметров, поэтому для получения статистических выводов необходимо положить априорные условия на , например [9, с.9]
	Ясно, что описанная модель представляет собой частный случай бернуллиевского вектора. В описанной модели число наблюдений равно числу неизвестных параметров, поэтому для получения статистических выводов необходимо положить априорные условия на     , например [9 , c. 9]:  (нет эффекта от повторений );   ( нет эффекта от повторений и от экспертов). Теорию независимых парных сравнений целесообразно разделить на две части - непараметрическую , в которой статистические задачи ставятся непосредственно в терминах  , и параметрическую, где   выражаются через меньшее число иных параметров. ряд результатов непараметрической теории парных сравнений вытекает из теории бернуллиевских векторов. 
 	В параметрической теории парных сравнений наиболее популярна так называемая линейная модель [9, c. 11], в которой предполагается , что каждому объекту    можно сопоставить некоторую "ценность "   так, что вероятность предпочтения    (т. е. предполагается  дополнительно, что эффект от повторений и от экспертов отсутствует ) выражается следующим образом: 
	
где - функция распределения, симметричная относительно 0, т.е.
	
 	Широко применяются модели Терстоуна-Мостеллера и Брэдли - Терри , в которых H(х) - соответственно функции нормального и логического распределений. поскольку функция Ф(х)- нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 и функция 
	
стандартного логического распределения удовлетворяют [10] соотношению для обоснованного выбора по статистическим данным между моделями Терстоуна-Мостеллера и Брэдли-Терри  необходимо не менее тысячи наблюдений [11].
	Сотношение (1) вытекает из следующей модели поведения эксперта: он измерят "ценность "   и  объектов    и   , но с ошибками    и  соответственно, а затем сравнивает    и   . Если   , то он предпочитает   , в противном случае -  . Тогда
	
	Обычно предполагают, что субъективные ошибки эксперта    и   независимы и имеют одно и то же непрерывное распределение. Тогда функция распределения Н(х) из выражения (3) непрерывна и удовлетворяет соотношению (2).
	Существует много разновидностей моделей  парных сравнений, постоянно предполагаются новые [9, 12, 13].
	Опишем модель парных сравнений, основанную не на прцедуре упорядочения, а на определении сходства объектов. пусть каждому объекту    соответствует точка    в r-мерном евклидовом пространстве  . Эксперт "измеряет "  и    с ошибками    и    соответственно и в случае, если евклидово расстояние между  и  меньше 1, заявляют о сходстве объектов   и   , в противном случае- об их различии. предполагается, что ошибки   и   независимы и имеют одно и то же распределение, например, круговое нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией координат  . Целью статистической обработки является определение по результатам парных сравнений оценок параметров  ,  ,...,  и  , а также проверка согласия опытных данных с моделью [14] .
Модели парных сравнений обобщаются в различных направлениях. Так , можно ввести понятие  "ничья "- ситуация, когда эксперт оценивает  объекты одинаково. модели с учетом "ничьих "  предполагают, что эксперт может отказаться от выбора одного из объектов и заявить  об их эквивалентности, т. е. число возможных ответов увеличилось с 2 до 3. В моделях множественных сравнений эксперту представляется не два объекта , а три или большее число  [9, 13]. Мистематическое изучение параметрических моделей парных сравнений и их обобщений предпринято Д. С.Шмерлингом [15].
	Модели, учитывающие  "ничьи " , строятся обычно с помощью используемых в психофизике  " порогов чувствительности " [16]:  если    ( r- порог чувствительности), то объекты  и    эксперт объявляет неразличимыми. Приведем пример модели с   "ничьими " , основанной на другом принципе. есть каждому объекту     соответствует точка   в  r- мерном линейном пространстве. Как и прежде , эксперт  "измеряет " объектные точки   и    с ошибками  и   соответственно, т. е. принимает решение на основе  и . если все координаты  больше соответствующих координат , то  предпочитается . Соответственно, если каждая координата  меньше  координаты   с тем же номером , то эксперт считает наилучшим объект . Во всех остальных случаях эксперт объявляет о ничейной ситуации  [14]. Эта модель , при  r=1 переходит в описанную выше линейную модель. Она связана с принципом Парето  в теории группового выбора [17, 18] и предусматривает выбор оптимального по Парето объекта, если он существует (роль согласуемых критериев играют процедуры сравнения значений отдельных координат) , и отказ от выбора , если такого объекта нетМожно строить модели , учитывающие порядок предъявления объектов при сравнении [15], зависимость результата сравнения от  результатов предшествующих сравнений [ 14]. _пишем одну из подобных моделей.Пусть эксперт сравнивает три объекта -.A, B, C, причем сначала сравниваются A и B, потом - B и C и , наконец, A и C (например, A>B будет означать, что A более предпочтителен,  чем B). Пусть при предъявлении двух объектов 

Теперь пусть пара B, C предъявляется после пары A, B .Естественно предположить, что высокая оценка B в первом сравнении повышает вероятность предпочтения B и во втором, и , наоборот, отрицательное мнение о B в первом сравнении сохраняется и при проведении второго сравнения. Это предположение проще всего учесть в модели следующим образом:

где -некоторое положительное число, показывающее степень влияния первого сравнения на второе. По аналогичным причинам вероятности исхода третьего сравнения в зависимости от результатов первых двух можно описать так:
,

Статистическая задача состоит в определении параметров и  по  результатам сравнений, проведенных  n экспертами, и в проверке адекватности модели.
	Ясно, что можно рассматривать и другие модели, в, частности, учитывающие тягу экспертов к транзитивности ответов. Очевидно, что проблемы построения моделей парных сравнений относятся не к математической статистике, а к тем прикладным областям, для решения задач которых развиваются методы парных сравнений, например, к психологии, изучению поведения потребителей, экспертным оценкам, спортивной науке и т. д. Метод парных сравнений введен в 1860 г. Фехнером для решения задач психофизики. Точнее: С основателем психофизики по праву считается Густав Теодор Фехнер (1801 - 1887), а год выхода в свет его фундаментальной работы С "Элементы психофизики"(1860) - датой рождения новой науки С [19, c.43]; в этой работе широко применялся предложенный Фехнерои  метод парных сравнений ( обсуждение с современных позиций в монографии [9, c. 14-16] ).— точки зрения математической статистики приведенные выше модели не представляют большого теоретического интереса: оценки параметров находятся обычно методом максимального правдоподобия, а проверка согласия проводится по критерию отношения правдоподобия или асимптотически эквивалентными ему критериями типа хи-квадрат  [9, 13, 15]. Вычислительные процедуры обычно сложны и плохо исследованы, их можно упростить и одновременно повысить обоснованность, перейдя от оценок максимального правдоподобия к одношаговым оценкам [20].
	Отметим сложность в использовании линейных моделей (1) - (3). Статистическая теория достаточно проста, когда предполагается , что каждому отдельному сравнению двух объектов соответствуют свои собственные ошибки экспертов, причем все ошибки независимы в совокупности. _днако это предположение отнюдь не очевидно с содержательной точки зрения. –ассмотрим три объекта A, B и C, которые сравнивают попарно: A и B, B и C, F и C. В соответствии со сказанным, в рассмотрение вводят 6 ошибок одного и того же эксперта:  и  в первом сравнении,  и -во втором,  и - в третьем , причем все эти 6 случайных величин независимы в совокупности. Между тем естественно думать, что мнения эксперта об одном и том же объекте связаны между собой, т. е.  и  зависимы, равно как  и , а также  и . Более того , если принять что точки зрения эксперта полностью определена для него самого, то следует положить = и соответственно = и =. При этом интерпретируется как отклонение мнения отдельного эксперта от истины. Видимо, ошибку эксперта целесообразно считать состоящей из двух слагаемых: вызванного внутренними особенностями эксперта отклонения от истины ( систематическая погрешность ) и колебания мнения эксперта в связи с очередным парным сравнением ( случайная погрешность) . Игнорирование систематической погрешности облегчает развитие  математико-статистической теории , а ее учет приводит к необходимости изучения зависимых парных сравнений.При обработке результатов парных сравнений первый этап - проверка согласованности. Понятие согласованности уточняется различными способами, но все они имеют один и тот же смысл проверки однородности обрабатываемого материала, т. е. того, что целесообразно агрегировать мнения отдельных экспертов, объединить данные и совместно их обрабатывать. При отсутствии однородности данные разбиваются на группы  ( классы, кластеры , таксоны) с целью обеспечения однородности внутри их  [8, 13].Естественно, согласованность целесообразно проверять, вводя возможно меньше гипотез о структуре данных. —ледовательно, целесообразно пользоваться для этого непараметрической теорией парных сравнений, основанной на теории бернуллиевских векторов.Модели парных сравнений можно применять  [2, 9,12 - 19] в экспертных и экспериментальных  процедурах упорядочивания и выбора, в частности, для анализа голосования, турниров, выбора наилучшего объекта ( проекта, образца, кандидатуры); в планировании и анализе сравнительных экспериментов и испытаний; в органолептической экспертизе ( в частности, дегустации); в изучении поведения потребителей; при С визуальной колоритмии, определении индивидуальных рейтингов и вообще изучении предпочтений при выборе С [9, c. 7]  и т. д.

Бинарные соотношения.

	Теорию ранговой корреляции [21, 22]  можно рассматривать как теорию статистического анализа случайных ранжировок, равномерно  распределенных на множестве всех ранжировок. Так, для обработки данных психофизического эксперимента по упорядочению кубиков соответственно их весу [23, 24] оказалась адекватной следующая модель [23, c. 38 -39].  
 	Пусть имеется t объектов , причем каждому объекту  соответствует число , описывающее его положение на шкале изучаемого признака. Испытуемый упорядочивает объекты так, как если бы оценивал соответствующие им значения с ошибками, т. е. находил , где - ошибка при рассмотрении  -го объекта, а затем располагал бы объекты в том порядке , в каком располагаются . В этом случае вероятность появления упорядочения  есть , а ранги  объектов являются рангами случайных величин , полученных при их упорядочении в порядке возрастания. Кроме того, предполагается , что ошибки испытуемого  независимы и имеют нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией . Как уже отмечалось, бинарное отношение на множестве из  t элементов полностью описывается матрицей из 0 и 1 порядка  [2, 17]. Поэтому задать распределение случайного бинарного отношения - это то же самое, что задать распределение вероятностей на множестве всех матриц описанного вида, состоящем из  элементов. Пространства ранжировок , разбиений, толерантностей зачастую удобно считать подпространствами пространства всех бинарных отношений, тогда распределения вероятностей на них - частные случаи описанного выше распределения, выделенные тем , что вероятности принадлежать соответствующим подпространствам равны 1. распределение произвольного бинарного отношения описывается  параметрами, распределение случайной ранжировки (без связей)- параметрами, а приведенная выше  -модель ранжирования [23]- параметром. при  =4 эти числа равны соответственно 65535, 23 и 5.
	Зачастую целесообразно считать , что распределение имеет некий центр , попадание в который наиболее вероятно, а по мере удаления от центра вероятности убывают. Это соответствует измерению с ошибкой; в классическом одномерном случае результат подобного измерения описывается унимодальной симметричной плотностью, монотонно возрастающей слева от модального значения, в котором плотность максимальна, и монотонно убывающей справа от него. Чтобы ввести понятие монотонного распределения в пространстве бинарных отношений , будем исходить из метрики в этом пространстве. Воспользовавшись тем, что бинарные отношения C  и  D однозначно описываются матрицами  и  порядка  соответственно, рассмотрим метрику
			(4)
	В работах [2, 25] дан обзор аксиоматическим подходам к получению метрики (4) в различных пространствах бинарных отношений - ранжировок, разбиений, толерантностей. Используются и иные  метрики. Более того, для использования понятия монотонного распределения нет необходимости требовать выполнения неравенства треугольника, а достаточно, чтобы  можно было рассматривать как показатель различия.
	Определение 1. Распределение бинарного отношения  называется монотонным относительно  расстояния  с центром в , если из  следует, что [2,c.196].Это определение отличается от определения Я. Пинкавой [26] одноименного понятия для ранжировок без связей тем ,что может использоваться в любых пространствах бинарных отношений и, более того, в любых пространствах из конечного числа элементов, лишь бы в них была введена функция d(C,D) - показатель различия элементов — и D этого пространства.Монотонное распределение унимодально , мода находится в . 
	Определение 2. Распределение бинарного отношения  называется симметричным относительно расстояния  с центром в , если существует такая функция , что
		(5)
	 Для случайных разбиений симметричные распределения ввела в 1978 г. А.В Маамяги [27, c. 30], не применяя для них никакого специального термина.
	Если распределение  монотонно и таково, что из следует, , то оно симметрично. Если функция  в формуле (5) монотонно строго убывает, то соответствующее распределение монотонно в смысле "  определения 1".
	Статистическим анализом разбиений занималась А.В. Маамяги [28]. Во-первых, она рассмотрела для случайных разбиений аналоги коэффициента ранговой корреляции Кендалла и коэффициента согласованности Кендалла и Бэбингтона Смита (коэффициента корреляции) [21, 22] в предположении равномерности распределения на множестве всех разбиений. Во-вторых, она рассмотрела некоторые задачи для симметричных распределений (5). Следует отметить математическую сложность работ А.В. Маамяги. Поскольку толерантность на множестве из   элементов задается  элементами матрицы из 0 и 1 порядка , лежащими выше главной диагонали, то распределение на на множестве толерантностей задается в общем случае  параметрами. В работах [3,4] выделено семейство распределений, соответствующее независимым элементам матрицы.Оно задается бернуллиевским вектором с  параметрами ( выше этот вопрос рассмотрен подробнее). Математическая техника , необходимая для изучения толерантностей с независимыми элементами , существенно проще , чем в случае ранжировок и разбиений. Здесь легко отказаться от условия равномерности распределения. Этому условию соответствует =1/2, в то время как методы работ [7, 8, 29, 30] не налагают никаких существенных ограничений на .
	Как уже отмечалось, при обработке мнений экспертов сначала проверяют согласованность. В частности , если мнения экспертов описываются монотонными распределениями , то для согласованности необходимо совпадение центров этих распределений. К сожалению, рассмотренные выше методы проверки согласованности для ранжировок и разбиений позволяют лишь отвергнуть гипотезу о равнораспределенности , но не установить, можно ли считать, что центры соответствующих экспертам распределений совпадают или же , например, существует две группы экспертов, каждая со своим центром. Теория случайных толерантностей лишена этого недостатка. _тсюда  вытекают следующие практические рекомендации. Пусть цель обработки экспертных данных состоит в получении ранжировки , отражающей групповое мнение. Однако непосредственно эксперты осуществляют парные сравнения , сравнивая каждый из рассматриваемых объектов со всеми остальными, причем ровно один раз   Когда ответ эксперта-толерантность,но,вообще говоря,не ранжировка,поскольку в ответах эксперта может нарушаться транзитивность. Возможны два пути обработки данных. Первый-превратить ответ эксперта в ранжировку,а затем проверять согласованность ранжировок с помощью известных критериев. При этом от толерантности перейти к ранжировке можно,выбирая ближайшую в смысле расстояния матрицу к матрице ответов эксперта из всех,соответствующих ранжировкам без связей. Второй путь-проверить согласованность случайных толерантностей,а  групповое мнение искать с помощью медианы Кемени непосредственно по исходным данным. Второй путь мы считаем более предпочтительным,поскольку при этом обеспечивается более адекватная проверка согласованности и исключается процедура укладывания мнения эксперта в прокрустово ложе ранжировки_бласти применения бинарных отношений:ранговая корреляция-оценка величины связи между переменными,измеренными в порядковой шкале,анализ экспертных или эксперементальных упорядочений,анализ разбиений технико-экономических показателей на группы сходных между собой,обработка данных о сходстве , статистический анализ классификаций,математические вопросы теории менеджмента и др.

Случайные множества
	Будем рассматривать случайные подмножества некоторого множества . Если   состоит из конечного числа  элементов,то считаем , что случайное подмножество  есть случайная величина со значениями в  множестве всех подмножеств множества  ,состоящем из  элементов. Cчитаем, что все подмножества  измеримы. Тогда  распределение случайного подмножества = множества -это

	В формуле предполагается, что : где (,,)-вероятностное пространство (здесь -порстранство элементарных событий, --алгебра событий, -вероятностная мера на ), на котором определена случайная величина .Через распределение  выражаются вероятности различных событий, связанных с . Как ,чтобы найти вероятность накрытия фиксированного элемента  случайным множеством , достаточно вычислить

где суммирование идет по всем подмножествам  множества , содержащим .Рассмотрим случайные величины, определяемые по случайному множеству  следующим образом

	Определение 3. Случайное множество  называется случайным множеством с независимыми элементами, если случайные величины  независимы (в совокупности).
	Последовательность случайных величин --бернуллиевский вектор с  и последней формулы раздела "Дихомитические данные" следует, что распределение случайного множества с независимыми элементами задается формулой

то есть такие распределения образуют -мерное параметрическое семейство, входящее в -одномерное семейство всех распределений случайных подмножеств множества .
	При исследовании случайных подмножеств произвольного множества  будем рассматривать их как случайные величины со значениями в некотором пространстве подмножеств множества , например, в пространстве замкнутых подмножеств  множества . Способами введения измеримой структуры в  интересоваться не будем. Отсутствие специального интереса к проблеме измеримости связано с тем, что при обработке на эвм все случайные подмножества рассматриваются как конечные.—лучайные множества находят применение в гранулометрии,при изучении пористых сред и обьектов сложной природы в таких областях, как металлография, петрография, биология, в частности, математическая морфология, в изучении структуры веществ и материалов, в математической экономике, в том числе управлении запасами и ресурсами, в исследовании процессов распространения, в частности, просачивания, при районировании, в том числе в задачах менеджмента и  маркетинга, в  изучении областей поражения, в частности, поражения металла коррозией и сердечной мышцы при инфаркте миокарда, в экспертных оценках, в частности, при анализе мнений голосующих или опрашиваемых, каждый из которых отмечает несколько пунктов из списка и т.д.

Ранговые методы

	В работе [2] установлено, что любой адекватный алгоритм  в порядковой  шкале является функцией от некоторой матрицы C. Пусть никакие два из результатов наблюдений  не совпадают, -- их ранги. Тогда элементы матрицы C и ранги результатов наблюдений связаны взаимно однозначным соответствием:
,
а  через ранги выражаются так=1, если , и =0 в противном случае.
	Cказанное означает, что при обработке данных, измеренных в порядковой шкале, могут применяться только ранговые статистические методы. Отметим, что часто используемое в непараметрической статистике преобразование   Y=F(x) (здесь  F(x)- непрерывная функция распределения случайной величины x, причем  F предполагается произвольной ) фактически означает переход к порядковой шкале, поскольку статистические выводы при этом инвариантны относительно допустимых преобразований в порядковой шкале.
	Разумеется, ранговые статистические методы могут применяться не только при обработке данных, измеренных в порядковой шкале. “ак для проверки независимости двух количественных признаков в случае, когда нет уверенности в нормальности соответствующего двумерного распределения, целесообразно использоваться коэффициентами ранговой корреляции Кенделла или Спирмена.
	В настоящее время с помощью ранговых методов [2б 33-35] можно решать все те задачи прикладной статистики, что и с помощью параметрических методов, в частности, основанных на предположении нормальности. Однако параметрические методы вошли в массовое сознание исследователей и инженеров и мешают широкому внедрению более обоснованной и прогресивной ранговой статистики. Так, при проверке однородности двух выборок вместо критерия Стъюдента целесообразно использовать ранговые методы, но пока это делается редко.

Объекты общей природы.
	Вероятностная модель объекта нечисловой природы в общем случае- случайная величина( в другой терминологии- случайный элимент) со значениями в пространстве произвольного вида, а выборки таких объектов - совокупность независимых одинаково распределенных случайных величин. Именно такая модель использована для обработки наблюдений, каждое из которых - нечеткое множество ]36, с.55].
	Из-за имеющего разнобоя в терминологии приведем определения из монографии Ю.В Прохорова и Ю.А. Розанова [37]
	"Пусть -некоторое измеримое пространство; - измеримая функция  на пространстве элементарных событий  ( где  - вероятностная мера на  - алгебре  - измеримых подмножеств  , называемых событиями ) со значениями в  называется случайной величиной в фазовом пространстве . Распределением вероятностей этой случайной величины  называется функция  на  - алгебре  фазового пространства, определенная как 
		 ( 7 )
( распределение вероятностей  представляет собой вероятностную меру в фазовом пространстве  ) [37, с. 132]
	Пусть  - случайные величины на пространстве случайных событий  в соответствующих фазовых пространствах . Совместным распределением вероятностей этих величин называется функция  , определенная на множествах  как 

			(8)
	Распределение вероятностей  как функция на полукольце множеств вида  в произведении пространств  представляет собой функцию распределения. Случайные величины  называется независимыми, если при любых  
	( 9 ) [37,с. 133].
	Предположим, что совместное распределение вероятностей  случайных величин  и  абсолютно непрерывно  относительно некоторой меры  на произведении пространств , являющейся произведением мер  и  :
			(10)
для  любых  и  , где  - соответствующая плотность распределения вероятностей [37,с. 145].
	В формуле ( 10 ) предполагается, что  и  - случайные величины на одном пространстве элементарных событий  со значениями в фазовых пространствах  и  . Существование плотности  вытекает из абсолютной непрерывности  относительно  в соответствии с теоремой Радона-Никодима [38,с. 322].
	Условное распределение вероятностей  ,  может быть выбрано одинаковым для всех  , при которых случайная величина  сохраняет одно и то же случайное значение :  . При почти каждом  ( относительно распределения  в фазовом пространстве ) условное распределение вероятностей  , где  и  , будет абсолютно непрерывно относительно меры :

	Причем соответствующая плотность условного распределения вероятностей будет иметь вид
    		( 11 )
[37,с. 145-146].
	При построении вероятностных моделей реальных явлений важны вероятностные пространства из конечного числа элементарных событий [39,с. 111; 40, с. 38]. Для них перечисленные выше общие понятия становятся более прозрачными 6 в частности, снимаются вопросы измеримости (все подмножества считаются измеримыми). Вместо плотностей и условных плотностей рассматриваются вероятности и условные вероятности. Отметим, что вероятности можно рассматривать как плотности относительно меры, приписывающей каждому элементу пространства элементарных событий вес 1, т.е. меры 

За последние двадцать лет в прикладной математической статистике сформировалась новая область - статистика нечисловой природы. К настоящему времени она развита не менее, чем ранее выделенная статистика случайных величин, многомерный статистический анализ, статистика временных рядов и случайных процессов. Краткая сводка основных постановок и результатов математической статистики в пространствах нечисловой природы дана в работе [41]. Теория, построенная для результатов наблюдений, лежащих в пространствах общей природы, является центральным стержнем в статистике нечисловой природы. В ее рамках удалось разработать и изучить методы оценивания параметров и характеристик, проверки гипотез (в частности, с помощью статистик интегрального типа [42]), параметрической и непараметрической регрессии (восстановления зависимостей), непараметрического оцениванияплотности, дискриминантного и кластерного анализов и т.д.
Вероятностно-статистические методы, развитые для результатов наблюдений из пространств произвольного вида, позволяют единообразно проводить анализ данных из любого конкретного пространства. Так, в монографии [2] они применены к конечным случайным множествам, в работе [36] - к нечетким множествам. С их помощью установлено поведение обобщенного мнения экспертной комиссии (медианы Кемени) при увеличении числа экспертов, когда ответы экспертов лежат в том или ином пространстве бинарных отношений [41]. В работе [43] методы распознования образов, основанные на непараметрических оценках плотности распределения вероятностей в пространстве общей природы, применены для разработки алгоритма диагностики в пространстве разнотипных данных (часть координат вектора измерена по количественным шкалам, часть - по качественным [2,36,41]. 

1.Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях.-М.Наука,1979.-296 с.
2.Орлов А.И. Экспертные оценки / Вопросы кибернетики. Вып.58.-М.: Научный Совет СССР по комплексной проблеме "Кибернетика", 1979.С.17-33.
3.Орлов А.И. / Тезисы докладов Четвертой международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике: Том 2.-Вильнюс, Вильнюсский госуниверситет, 1985.С.278-280.
 4.Орлов А.И. / Анализ нечисловой информации в социологических исследованиях.-М.Наука, 1985.С.58-92. 
5.Орлов А.И. / Статистика. Вероятность. Экономика.-М.Наука,1985. С.99-107. 
6.Орлов А.И. / Заводская лаборатория. 1987.Т.58. N3.С.90-91. 
7.Орлов А.И. /Надежность и контроль качества. 1987.N6.С.54-59. 
8.Рекомендации. Прикладная статистика. Методы обработки данных. Основные требования и характеристики.- М.:ВНИИС,1987.-64 с.
9.Кривцов В.С., Фомин В.Н., Орлов А.И. / Стандарты и качество. 1988.N3.С.32-36. 
11.Колмогоров А.Н. Статистический приемочный контроль при допустимом числе дефектных изделий, равном нулю. - Л.: ДНТП, 1951. - 22 с. 
12. Гнеденко Б.В. Математика и контроль качества продукции.- М.: Знание, 1978. - 64 с. 
13. Беляев Ю.К. Вероятностные методы выборочного контроля.-М.: Наука, 1975. - 408 с.
14. Лумельский Я.П. Статистические оценки результатов контроля качества. - М.: Из-во стандартов, 1979. - 200 с.  
15. Орлов А.И. Современные проблемы кибернетики: Прикладная статистика. - М.: Знание, 1981. с 3-14. 
16. Статистические методы анализа экспертных оценок / Ученые записки по статистике, т. 29, -М.: Наука, 1977-384 с. 17.
17.Экспертные оценки в системных исследованиях / Сборник трудов. - Вып. 4. - М.: ВНИИСИ, 1970 - 120 с. 
18. Экспертные оценки / Вопросы кибернетики. - Вып. 58. - М.: Научный Совет АН СССР по комплексной проблеме / "Кибернетика". 1979. - 200 с. 
19. Экспертные оценки в задачах управления / Сборник трудов. - М.: Институт проблем управления. 1982. - 106 с. 
20. Анализ нечисловых данных в системных исследованиях / Сборник трудов. - Вып. 10. - м.: ВНИИСИ. 1982. 
21. Методы анализа данных, оценивания и выбора / Сборник трудов. - Вып. 11. - М.: ВНИИСИ. 1984. - 92 с. 
22. Методы анализа данных, оценивания и выбора в системных исследованиях. / Сборник трудов. Вып.14. - М.: ВНИИСИ. 1986. - 124 с.
23. Тюрин Ю.Н., Литвак Б.Г., Орлов А.И. и др. / Заводская лаборатория. 1980. т. 46. N 10. С. 931-935. 
24. Тюрин Ю.Н., Литвак Б.Г., Орлов А.И. и др. Анализ нечисловой информации / Препринт. - М.: Научный Совет АН СССР по комплексной проблеме "Кибернетика". 1981. - 80 с. 
25. Миркин Б.Г. Проблема группового выбора. - М.: Наука, 1974. 256 с. 
26. Миркин Б.Г., Родин С.Н. Графы и гены. - М.: Наука. 1977. - 240 с. 
27. Миркин Б.Г. Анализ качественных признаков и структур. - М.: Статистика. 1980. - 319 с. 
28. Миркин Б.Г. Группировки в социально-экономических исследованиях: Методы построения и анализа. - М.: Финансы и статистика. 1985. - 223 с. 
29. Лбов Г.С. Методы обработки разнотипных экспериментальных данных. - Новосибирск; Наука. 1981. - 160 с. 
30. Литвак Б.Г. Экспертная информация: Методы получения и анализа. - М.: Радио и связь. 1982. - 184 с. 
31. Первое Всесоюзное совещание по статистическому и дискретному анализу нечисловой информации, экспертным оценкам и дискретной оптимизации. / Тезисы докладов. - М. - Алма-Ата: ВИНИТИ, 1981. - 439 с. 
32. Вторая Всесоюзная конференция по анализу нечисловой информации. / Тезисы докладов. - М.: Таллинн: ВИНИТИ, 1984. - 348 с. 
33. Орлов А.И., Рыданова Г.В. / Программно-алгоритмическое обеспечение анализа данных в методико-биологических исследованиях / Материалы I Всесоюзной школы-семинара. - Пущино: Научный центр биологических исследований АН СССР, 1986. - С. 61-71. 
34. Кендалл М.Дж., Стъюарт А., Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973. - 899 с. 
35. Карапетян К.А., Чахмахнян А.А. / Тезисы докладов Второй Всесоюзной школы-семинара "Программно-алгоритмическое обеспечение прикладного многомерного статистического анализа" / Т. II. - М.: ЦЭМИ АН СССР. 1983. - С. 10-18. 
36. Фоменко А.Г. // Проблемы устойчивости статистических моделей / Труды семинара. - М.: ВНИИСИ. 1984. - С.154-177. 
37. Орлов А.И. / Теория вероятностей и ее применения. 1978. Т. XXIII. N 2 . С. 462-464. 
38. Gini C., Galvani L. / Metron. 1929. V. VIII. N 1-2. 
39. Джини К. Средние величины. - М.: Статистика. 1970. - 556 с. 
40. Kemeny J. / Pacif. J. Math . 1959. V.9. N 4. P. 1179-1189. 
41. Kemeny J. / Daedalus. 1959. V. 88. P. 571-591. 
42. Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование: Некоторые приложения. - М.: Советское радио, 1972. - 192 с. 
43.Воробьев О.Ю., Валендик Э.Н. Вероятностное множественное моделирование распространения лесных пожаров. - Новосибирск: Наука, 1978. - 160 с. 
44. Математическая энциклопедия. т. 1-5. - М.: Советская энциклопедия, 1977-1985. 
45. Молодцов Д.А. Устойчивость принципов оптимальности. - М.: Наука. 1987. - 280 с.
46. Орлов А.И. // Анализ нечисловых данных в системных исследованиях / Сборник трудов. - Вып. 10. - М.: ВНИИСИ, 1982. - С. 4-12. 
47. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. - М.: Финансы и статистика. 1983. - 472 с. 
48. Смоляк С.А., Титаренко Б.П. Устойчивые методы оценивания: Статистическая обработка неоднородных совокупностей. - М.: Статистика, 1980. - 208 с. 
49. Хьюбер П. Робастность в статистике. - М.: Мир. 1984. - 304 с. 
50. Устойчивые статистические методы оценки данных. - М.: Машиностроение. 1984. - 230 с.
51. Мудров В.И., Кушко В.Л. Методы обработки измерений: Квазиправдоподобные оценки. - М.: Радио и связь, 1983. - 304 с. 
52. Wald A. / Ann. Math. Statist. 1949. V. 20. P. 595-601. 
53. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. - М.: Наука, 1979. - 528 с. 
54. Боровков А.А. Математическая статистика. - М.: Наука,1984. - 472 с. 
55. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей / Под ред. В.Н.Вапника. - М.: Наука, 1984. - 816 с. 
56. Орлов А.И. /Прикладная статистика. - М.: Наука, 1983. С. 12-40. 
57. Ченцов Н.Н. Статистические решающие правила и оптимальные выводы. - М.: Наука, 1972. - 520 с. 
58. Деврой Л., Дьерфи Л.Непараметрическое оценивание плотности: L1-подход. - М.: Мир, 1988. - 408 с. 
59. Яковлев С.А. /Журнал вычислительной математики и математической физики. 1984. Т. 24. N 4. С. 587-598. 
60. Орлов А.И./ Доклады АН СССР. 1974. Т. 219. N 4. С. 808-811. 
 61.Фрумкина Р .М. Цвет, смысл, сходство Ж  Аспекты психодингвийского анализа.-М.:Наука,1984,-176 с.
 62. Суппес П., Зинес Дж. / Психологические измерения. - М.: Мир, 1967. С. 9-110. 
63. Пфанцагль И. Теория изменений. - М.:Мир, 1976. - 165 с.  
 64. Абчук В., Пухначев Ю. / Наука и жизнь. 1984. N 9. С. 80-85. 
 65. Абчук В.А. Правила удачи. - Л.: Детская литература,1986. - 128 с. 
66. Орлов А.И. / Многомерный статистический анализ в социально-экономических исследованиях. - М.: Наука, 1974. С. 388-393. 
67. Колмогоров А.Н. Избранные труды.: Математика и механика. - М.: Наука, 1985. С. 136-138. 
68. Орлов А.И. / Математические заметки. 1981. Т. 30. N 4. С. 561-568. 
69. Толстова Ю.Н. / Социологические исследования. 1978. N 3. С. 178-184. 
70. Толстова Ю.Н. / Экономика и математические методы. 1978. Т. XIV. N 3. С. 598-603. 
71. Высоцкий В.С. / Прикладной многомерный статистический анализ. - М.: Наука, 1978. С. 348-351. 
72. Мешалкин Л.Д. / Статистические методы анализа экспертных оценок. - М.: Наука, 1977. С. 215-219. 
73. Глинчев А.В. и др. прикладные вопросы квалиметрии. - М.: Издательство стандартов. 1983. - 212 с. 
74. Подиновский В.В. / Тезисы докладов I Всесоюзного совещания по статистическому и дискретному анализу нечисловой информации, экспертным оценкам и дискретной оптимизации. - М. - Алма-Ата; ВИНИТИ. 1981. С. 142-143. 
75. Зованов Н.В. Математические основы теории шкал измерения качества. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1982, - 185 с. 
76. Витяев Е.Е., Москвитин А.А. / Методы анализа данных: Вычислительные системы. Т. III . - Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1985. С. 28-58. 
77. Котов В.Н. Применение теории измерений в биологических исследованиях. - Киев: Наукова думка, 1985. - 98 с. 
78. Кендалл М. Ранговые корреляции. - М.: Статистика, 1975.- 216 с.
79. Тюрин Ю.Н., Шмерлинг Д.С. / Заводская лаборатория. 1985. Т.51. N 7. С. 42-48. 
80. Маамяги А.В. Некоторые задачи статистического анализа классификаций. - Таллинн; АН ЭССР. 1982. - 24 с. 
81. Феллер В. Введение теорию вероятностей и ее приложения Том. 1.-М.: Мир, 1984. 528 с. 
82. Орлов А.И. / Экспертные оценки в задачах управления. - М.: ИПУ, 1982. - С. 58-66. 
83. Орлов А.И. / Алгоритмическое и программное обеспечение прикладного статистического анализа. -М.: Наука, 1980. С. 287-308. 
84. Дылько Т.Н. / Вестник Белорусского государственного ун-та / Сер. 1: физика, математика и механика. 1988, N 2. С. 36-40.
85. Раушенбах Г.В., Заславский А.А. / Программно-алгоритмическое обеспечение анализа данных в медико-биологических исследованиях / / Материалы 1 Всесоюзной школы-семинара. - Пущино: НЦБИ, 1986. С. 126-141. 
86. Сердобольский В.И., Орлов А.И. / Тезисы докладов III Всесоюзной школы-семинара "Программно-алгоритмическое обеспечение прикладного многомерного статистического анализа". - М.: ЦЭМИ АН СССР, 1987. С. 151-160. 
87. Дэвид Г. Метод парных сравнений. - М.: Статистика, 1978.- 144 с.
88. Шмерлинг Д.С. и др. /Статистические методы анализа экспертных оценок. - М.: Наука, 1977. С. 290-382. 
89. Сатаров Г.А., Шмерлинг Д.С. /Экспертные оценки в задачах управления. - М.: ИПУ, 1982. С. 67-79. 
90.Шмерлинг Д.С. Разработка и исследование ранговых методов анализа информации для задач упорядочения элементов сложных систем /Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук - М.:ВНИИСИ, 1982 -21с. 
91. Тюрин Ю.Н. Непараметрические методы статистики. - М.: Знание, 1978 - 64 с. 
92. Кендалл М.:, Моран П. Геометрические вероятности - М.: Наука, 1972 - 192с. 
93. Матерон Ж. Случайные множества и интегральная геометрия М.Мир, 1978 -318с.
94. Ляшенко Н.Н. / Прикладная статистика - М.: Наука, 1983. с.4-59. 
95. Ковязин С.А. / Матем. статистика и ее прилож. / Вып. 9- Томск, 1983 с.94-102.
96. Воробьев О.Ю. Среднемерное моделирование - М.: Наука, 1984 - 136с. 
97. Zadeh L.A./ Inform. Control. 1965.V.8.Р. 338-353. 
98.Язенин А.В. Некоторые методы теории нечетных подмножеств в многокритериальных задачах с приложениями / Афтореф. дисс. канд. техн. наук, - Рига: Рижский политехнический ин-т, 1982. - 22с. 
99. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. - М.: Мир, 1976. - 168 с. 
100. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения: Пер. с англ. / Под ред. Р.Р. Ягера. - М.: Радио и связь, 1986. - 408с. 
101. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под ред. Д.А. Поспелова . - М.: Наука, 1986. - 312 с. 
102. Орлов А.И. /Наука и жизнь. 1982.N 7. с.60-67. 
103. Орлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. - М.: Знание, 1980. - 64с. 
104. Feron R./ Publications Econometrigues. 1976.V.IX.F.I.P. 25-64. 
105. Лапидус В.А. Гибкие методы статистического контроля надежности и качества. Ч. II.-М.: Знание, 1985.- 128 с. 
106. Терехина А.Ю. Анализ данных методами многомерного шкалирования.-М.- Наука, 1986. - 168 с. 
107. Мазур В.О., Юровский А.Ю. / Тезисы докладов V международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике. Т. 3. - Вильнюс: Вильнюсский госуниверситет. 1989. С. 3-4. 
108. Перекрест В.Т. Нелинейный типологический анализ социально-экономической информации: Математические и вычислительные методы. - Л.: Наука, 1983. - 176с. 
109. Раушенбах Г.В. / Анализ нечисловой информации в социаологических исследованиях . - М.: Наука, 1985. с.169-203. 
110. Орлов А.И. /Программно-алгоритмическое обеспечение анализа данных в медико-биологических исследованиях. - М.: Наука, 1987. с.27-40. 
111. Орлов А.И. / Алгоритмическое и программное обеспечение прикладного статистического анализа. - М.: Наука, 1980. с.92-99. 
112. Статистические методы оценивания и проверки гипотез// Межвуз. сб. научн. трудов. - Пермь:Пермский ун-т, 1988. с.45-55. 
113.Орлов А.И./ Прикладная статистика. - М.:Наука, 1983. - с.260-265. 
114. Гнеденко Б.В., Орлов А.И./ Заводская лаборатория. 1988. Т.54. N 1 .с.1-4. 
115. Трофимов В.А. Модели и методы качественного факторного анализа матриц связи. Автореферат... канд. техн. наук. - Новосибирск, Ин-т математики СО АН СССР, 1982.-18с. 
116. Шмерлинг Д.С. Разработка и исследование ранговых методов анализа информации для задач упорядочения элементов сложных систем. Автореф. ... канд. физ.-мат. наук. - М.:ВНИИСИ, 1982. - 21с. 
117. Рыданова Г.В. Некоторые вопросы статистического анализа случайных бинарных векторов: Автореф. дис.канд.физ.-мат. наук.- М. 1988.-16 с.
118.Шер А.П. Исследование тестовых методов диагностики и разработка на их основе алгоритмов обработки океанологической информации для задач рыбопромыслового прогнозирования: Автореф. дис. канд. техн. наук. - Владивосток, 1984.- 19 с.
119.Пярна К.А. Оптимальное разбиение метрического вероятностного пространства: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. Вильнюс, 1987. - 20 с.
120. Бобров Н.Е., Лумельский Я.П.  Заводская лаборатория. 1985 Т. 51 №1. с. 42-46
121.Тюрин Ю.Н., Шмерлинг Д.С. : Заводская лаборатория. 1985 Т. 51 №7. с. 42-48.
122.Лумельский Я.П.  Заводская лаборатория. 1986 Т. 52 №7. с. 41-43.
123.Комиссарчик В.Ф.Авербух Е.А.: Заводская лаборатория. 1986.Т.52.№7.С.43-46.
124.Липовецкий С.С. Заводская лаборатория. 1987.Т.53.№1.С.53-57.
125.Горелова Н.Г.,Хиценко В.Е., Хиценко В.П.: Завуодская лаборатория.1987..Т.53.№3.С.59-62.
126.Вощиинин А.П.: Заводская лаборатория.1987.Т.53.№7.С.45-48.
127.Лбов Г.С.,Старцева Н.Г. Заводская лаборатория. 1988. Т.54. №1. С.72-75.
128.Демидович Н.О.,Курский И.Ю. Заводская лаборатория. 1988. Т.54. №3. С.95-98.
129.Воинов В.Г.,Никулин М.С. Заводская лаборатория. 1988. Т.54. №7. С.88-94.
130.Авербух Е.А. Заводская лаборатория. 1988.Т.54.№7.С.104-108.
131.Логинов Э.А., Лгинов В.Э. Заводская лаборатория. 1989.Т.55.№1. С.87-91.
132.Глазунов А.В., Лапидус В.А. Заводская лаборатория. 1989.Т.55. №3. С.85-89.
133.Лапига А.Г.,Поляков В.В. Заводская лаборатория. 1989.Т.55. №5. С.89-92.
134.Назаренко И.А., Сухан В.В., назаренко А.Ю. Заводская лаборатория. 1989. Т.55.№5. С.95-97. 
135.Цибель Н.А. Заводская лаборатория. 1989.Т.55. №7.С.88-94.
136.Вощинин А.П.,Бочков А.Ф.,Сотиров Г.Г. Заводская лаборатория. 1990.Т.56.С.76081.
137.Бородюк В.П. Заводская лаборатория. 1990.Т.56.№7.С.81-83.
138.Демиденко Е.З. Заводская лаборатория. 1990.Т.56.№7.С.83-84.
139. Лецкий Э.К. Заводская лаборатория. 1990.Т.56.№7.С.84-86.
140.Орлов А.И. Заводская лаборатория. 1990.Т.56.№7.С.86-89.
141.Легостаева И.Л. Заводская лаборатория. 1990.Т.56.№7.С.90-93.
142.Кузнецов В.П. Заводская лаборатория. 1990.Т.56.№7.С.93-95.
143.Миркин Б.Г. Заводская лаборатория. 1990.Т.56.№10.С.73-78.
144.Корхин А.С. Заводская лаборатория. 1991.Т.57.№5.С.61-66.
145.Назаренко А.Ю. ,Сухан В.В. ,Назаренко И.А.: Заводская лаборатория. 1991. Т.57. №10. С.63-65.
146.Мирвалиев М., Никулин М.С. Заводская лаборатория. 1992. Т.58.№3.С.52-58.
147.Кутенков Р.П., Коростелев В.Г. Заводская лаборатория. 1992. Т.58.№5.С.50-54.
148.Гиль Л.Р., Лумельский Я.П. Заводская лаборатория. 1992. Т.58.№10.С.51-55.
149.Волков Н.Г., Ерофеева С.Ю. Заводская лаборатория. 1992. Т.58.№10.С.59-62.
150.Орлов А.И. Заводская лаборатория. 1992. Т.58.№10.С.62-63.
151.Шубкин В.П. Социологическиее опыты.-М.: Мысль,1970.-256 с.
152.Щукина Г.И. Проблема познавательного интереса в педагогике. - М.Педагогика,1971.-352 с.
153.Пфанцагль И.Теория измерений. - М.Мир,1976.-166 с.
154.ГОСТ 23554.2-81. Экспертные методы оценки качества промышленной продукции. Обработка значений экспертных оценок качества продукции. -М. Изд-во Стандартов, 1981.
155.Березин Ф.Б., Мирошниченков М.П. Рожанец Р.М. Методика многостороннего обследования личности в клинической медецине и психогигиене. -М. Изд-во Стандартов, 1981.
156.Раушенбах Г.В.,Филлипов О.В. Экспертные оценки в медецине. -М.: ВНИИМИ, 1983.-83 с.
157.Фрумкина Р.М. Цвет, смысл, сходство: Аспекты психодингвистического анализа. -М.Наука, 1984. -176 с.
158.Кендалл М.Ранговые корреляции. - М.:Статистика,1975. - 216 с. 1
159.Скорняков Л.А. / Математическая энциклопедия.Т.4.-М.: Советская энциклопедия,1984. - С.505. 
160.Шрейдер Ю.А. Равенство,сходство,порядок.-М.Наука.1971.-256 с. 
161.Борель Э.Вероятность идостоверность. - М.: ГИФМЛ, 1961г.
- 120 с.
162.Зиман Э., Бьюнеман О. - В кн.: На пути к теоретической биологии.- М.Мир,1970.С.43-82.
163.Беляев Ю.К. Вероятностные модели выборочного контроля.
-М.:Наука, 1975.С.- 408 с.
164.Колмогоров А.Н./Известия АН СССР. Сер.математика.1950. Т.14. N.4, С.303- 326. 
165. Айвазян С.А. / Экономика и математические методы. 1977. Т.13. N.5. С.968-985. 
166.Матерон Ж. Случайные множества и интегральная геометрия. - М.:Мир, 1978. -320 С. 
167.Ковязин С.А./Препринты NN 18,20.Красноярск : ВЦ СО АН СССР, 1982. -24 с; 26 с. 
168.Аркин В.И., Евстигнеев И.В. Вероятностные модели управления и экономической динамики. М.: Наука, 1979. - 176 с. 
169.Кендалл М.,Моран П. Геометрические вероятности. -М.:Наука, 1972. - 176 с. 
170.Zadeh L.A. / Inform.Control. 1965. V.8. P.338-353. 
171.Заде Д. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений.-М.Мир. 1976. - 168 с. 172.Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходности информации. -М.:Наука, 1981. - 208 с. 
173.Кузьмин В.Б. Построение групповых решений в пространствах четких и нечетких бинарных отношений. -М.Наука, 1982. - 168 с. 174.Борисов А.Н., Алексеев А.В., Крумберг О.А. и др. Методы принятия решений на основе лингвистической переменной. - Рига, Зинатне, 1982. - 264 с. 
175.Аверкин А.Н.,Батыршин И.З.,Блищун А.Ф. и др. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. - М.: Наука, 1986. - 312 с. 
176.Борисов А.Н.,Алексеев А.В.,Меркурьева Г.В. и др. Обработка нечеткой информации в системах принятий решений. -М.:Радио и связь., 1989. -304 с. 
177. Орлов А. И./ Заводская лаборатория. 1990 Т. 56 №3. с. 76 -83.
178. Тюрин Ю. Н., Литвак Б. Г., Орлов А. И. и др./ там же. 1980 Т46 №10 с. 931-935.